74 Demonstre que
\cos (2 \theta) \leq \cos ^{2} \theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \cos(2\theta)\le\cos^2\theta para todo \theta. O conteúdo envolvido é identidades trigonométricas, em especial a fórmula de duplicação do cosseno.

Passo 2

A identidade de duplicação afirma que
\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1.

Passo 3

Substituindo essa expressão na desigualdade, a gente obtém
\cos(2\theta)\le\cos^2\theta \Longleftrightarrow 2\cos^2\theta-1\le\cos^2\theta
e, por isso,
\cos^2\theta-1\le0.

Passo 4

A desigualdade \cos^2\theta-1\le0 equivale a
\cos^2\theta\le1.

Passo 5

Sabemos que para qualquer \theta vale -1\le\cos\theta\le1. Ao quadrar essa desigualdade vem
0\le\cos^2\theta\le1,
o que garante \cos^2\theta\le1 e fecha a demonstração inicial.

Resposta

Para todo \theta\in\mathbb R, \cos(2\theta)\le\cos^2\theta.

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