Demonstre que, se f for uma função com crescimento exponencial, também o será a raiz quadrada de f. Mais precisamente, demonstre que, se f for uma função com crescimento exponencial, também o será a função g definida por g(x)=\sqrt{f(x)}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f tem crescimento exponencial, então a função
g(x)=\sqrt{f(x)}
também tem crescimento exponencial. Vamos usar a definição comum: dizer que f cresce exponencialmente significa que existem constantes a>1, M>0 e x_0 tais que, para todo x\ge x_0,
f(x)\le M\,a^x.

Passo 2

Pela hipótese de crescimento exponencial de f, escolhemos a>1, M>0 e x_0 de modo que, para todo x\ge x_0, valha
f(x)\le M\,a^x.

Passo 3

Definindo g(x)=\sqrt{f(x)}, aplicamos a raiz quadrada na desigualdade acima, obtendo para x\ge x_0
g(x)=\sqrt{f(x)}\;\le\;\sqrt{M\,a^x}\;=\;\sqrt{M}\,\sqrt{a^x}.

Passo 4

Como \sqrt{a^x}=(\sqrt{a})^x e \sqrt{a}>1 (já que a>1), a desigualdade do passo anterior vira
g(x)\le \sqrt{M}\,(\sqrt{a})^x,
o que mostra que g cresce exponencialmente com base \sqrt{a}>1 e constante \sqrt{M}.

Resposta

A função g(x)=\sqrt{f(x)} satisfaz, para algum \widetilde a=\sqrt{a}>1 e \widetilde M=\sqrt{M}, a desigualdade
g(x)\le \widetilde M\,\widetilde a^x,
logo g também tem crescimento exponencial.

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