58 Demonstre que a soma de uma sequência aritmética finita é 0 se e somente se o último termo for igual ao negativo do primeiro termo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma de uma sequência aritmética finita é zero exatamente quando o último termo é o negativo do primeiro. O conteúdo é soma de progressão aritmética (PA). Vamos precisar da definição de PA (termo geral) e da fórmula da soma dos
primeiros termos.
Passo 2
Seja uma PA com primeiro termo
, razão
e
termos. Então o
-ésimo termo é
e em particular o último termo é
A soma dos
termos é
Escrevendo a soma em ordem direta e reversa:
Somando as duas linhas termo a termo, obtemos
Como cada par soma
e há
pares, vem
Passo 3
A partir de
temos a equivalência lógica:
Resposta
A soma de uma sequência aritmética finita é zero se e somente se o último termo for o negativo do primeiro.