58 Demonstre que a soma de uma sequência aritmética finita é 0 se e somente se o último termo for igual ao negativo do primeiro termo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma de uma sequência aritmética finita é zero exatamente quando o último termo é o negativo do primeiro. O conteúdo é soma de progressão aritmética (PA). Vamos precisar da definição de PA (termo geral) e da fórmula da soma dos n primeiros termos.

Passo 2

Seja uma PA com primeiro termo a_{1}, razão d e n termos. Então o k-ésimo termo é
a_{k} = a_{1} + (k-1)\,d,
e em particular o último termo é
a_{n} = a_{1} + (n-1)\,d.
A soma dos n termos é
S = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}.
Escrevendo a soma em ordem direta e reversa:
\begin{aligned} S &= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n},\\\ S &= a_{n} + a_{n-1} + \cdots + a_{1}. \end{aligned}
Somando as duas linhas termo a termo, obtemos
2S = \bigl(a_{1}+a_{n}\bigr) + \bigl(a_{2}+a_{n-1}\bigr) + \cdots + \bigl(a_{n}+a_{1}\bigr).
Como cada par soma a_{1}+a_{n} e há n pares, vem
2S = n\,(a_{1}+a_{n}) \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{n}{2}\,(a_{1}+a_{n}).

Passo 3

A partir de
S = \frac{n}{2}\,\bigl(a_{1}+a_{n}\bigr),
temos a equivalência lógica:
S = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a_{1} + a_{n} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a_{n} = -\,a_{1}.

Resposta

A soma de uma sequência aritmética finita é zero se e somente se o último termo for o negativo do primeiro.

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