Demonstre que para todos os números reais x e y,-(x+y) =(-x)+(-y).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para quaisquer reais x e y, vale
-(x+y)\;=\;(-x)+(-y).
O conteúdo usado será a definição de inverso aditivo em \mathbb{R} e as propriedades de associatividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Recordando a definição de inverso aditivo: para todo real z, o número -z é aquele único que satisfaz
z + (-z) = 0.
Em particular, -(x+y) é o inverso aditivo de x+y, e -x, -y são os inversos aditivos de x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos mostrar que (-x)+(-y) também é inverso de x+y, isto é, que
(x+y)+\bigl((-x)+(-y)\bigr)=0.
Pela associatividade e comutatividade da soma, temos
(x+y)+\bigl((-x)+(-y)\bigr) = x + y + (-x) + (-y) = \bigl(x+(-x)\bigr) + \bigl(y+(-y)\bigr) = 0 + 0 = 0.

Passo 4

Como (-x)+(-y) soma com x+y e dá zero, ele é o inverso aditivo de x+y. Mas o inverso aditivo é único, logo
-(x+y) \;=\; (-x)+(-y).

Resposta

-(x+y) = (-x) + (-y).

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