Demonstre que, se um triângulo tem área A, lados de comprimento b, c e d e ângulos B, C e D, então
A^{3}=\frac{1}{8} b^{2} c^{2} d^{2}(\operatorname{sen} B)(\operatorname{sen} C)(\operatorname{sen} D)
[Dica: Escreva três fórmulas para a área A, depois multiplique essas fórmulas entre si.]

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo de área A, com comprimentos dos lados b,c,d e ângulos opostos a esses lados B,C,D, respectivamente. Vamos usar a fórmula da área em termos de dois lados e o ângulo entre eles:
\text{Área} = \frac12\;( \text{lado}_1 )\;( \text{lado}_2 )\;\sin(\text{ângulo entre eles}).Áâ

Passo 2

Aplicando a fórmula usando os lados c e d e o ângulo entre eles, que é B, obtemos
A = \frac12\,c\,d\,\sin B.

Passo 3

Agora usamos os lados d e b e o ângulo entre eles, que é C, para escrever
A = \frac12\,d\,b\,\sin C.

Passo 4

Finalmente, usando os lados b e c e o ângulo entre eles, que é D, temos
A = \frac12\,b\,c\,\sin D.

Passo 5

Multiplicando as três expressões de A entre si:
A^3 =\Bigl(\tfrac12\,c\,d\,\sin B\Bigr) \Bigl(\tfrac12\,d\,b\,\sin C\Bigr) \Bigl(\tfrac12\,b\,c\,\sin D\Bigr) =\frac1{8}\,b^2c^2d^2\,(\sin B)(\sin C)(\sin D).

Resposta

A^{3}=\frac{1}{8}b^{2}c^{2}d^{2}(\sin B)(\sin C)(\sin D).

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