Demonstre, usando o princípio da indução finita.
.
Passo 1
O enunciado quer provar por indução que, para todo
,
Vamos aplicar o princípio da indução finita, que exige conferir o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base (
):
logo
ou seja, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
tenhamos
Passo 4
Passo indutivo: precisamos mostrar que
Pela hipótese de indução isto é equivalente a
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Expandindo,
Cancelando
em ambos os lados, sobra
isto é,
Como
, o lado esquerdo é manifestamente positivo, completando o passo indutivo.
Passo 6
Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
vale para todo
.
Resposta
A desigualdade é verdadeira para todo
.