Demonstre, usando o princípio da indução finita.
1^3+2^3+3^3+ldots+n^3>n^44, forall n in N.

Passo 1

O enunciado quer provar por indução que, para todo ninN,
1^3+2^3+cdots+n^3>n^44
Vamos aplicar o princípio da indução finita, que exige conferir o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1):
1^3=1 e 1^44=14,
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1> tfrac14,
ou seja, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 tenhamos
1^3+2^3+cdots+n^3>n^44

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que
1^3+2^3+cdots+n^3+(n+1)^3>(n+1)^44
Pela hipótese de indução isto é equivalente a
n^44+(n+1)^3>(n+1)^44

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 4, obtemos
n^4+4(n+1)^3>(n+1)^4
Expandindo,
n^4+4(n^3+3n^2+3n+1) > n^4+4n^3+6n^2+4n+1
Cancelando n^4 em ambos os lados, sobra
4n^3+12n^2+12n+4 > 4n^3+6n^2+4n+1,
isto é,
12n^2+12n+4 > 6n^2+4n+1 Long<=ftrightarrow 6n^2+8n+3>0
Como n>=1, o lado esquerdo é manifestamente positivo, completando o passo indutivo.

Passo 6

Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
1^3+2^3+cdots+n^3>n^44
vale para todo ninN.

Resposta

A desigualdade é verdadeira para todo ninN.

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