Demonstre, usando o princípio da indução finita.
8 mid(3^2 n-1), forall n in N^*.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que
8 mid l(3^2n-1r)
para todo ninN^*. O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática: mostramos um caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base de indução ( n=1):
Calculamos 3^2cdot1-1=3^2-1=9-1=8.
Como 8 divide 8, temos que 8mid(3^2-1). Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo — hipótese de indução:
Suponha que, para algum k>=1, valha
8 mid l(3^2k-1r)
Isto é, existe inteiro m tal que
3^2k-1 = 8m

Passo 4

Passo indutivo — caso n=k+1:
Queremos mostrar que
8 mid l(3^2(k+1)-1r)
Observe que
3^2(k+1) - 1 = 3^2k+2-1 = 3^2cdot 3^2k - 1 = 9cdot 3^2k - 1
Escrevemos
9cdot 3^2k - 1 = 9l(3^2k-1r) + (9cdot1 - 1) = 9l(3^2k-1r) + 8
Pela hipótese indutiva, 3^2k-1 = 8m, então
9l(3^2k-1r) = 9cdot(8m) = 8cdot(9m),
que é múltiplo de 8. E claro, 8 também é múltiplo de 8. Soma de múltiplos de 8 é múltiplo de 8. Portanto
3^2(k+1)-1
é múltiplo de 8, ou seja
8 mid l(3^2(k+1)-1r)

Passo 5

Conclusão:
Mostramos que a propriedade vale para n=1 e que, se vale para n=k, então vale para n=k+1. Pelo princípio da indução finita, segue que
8 mid l(3^2n-1r)
para todo ninN^*.

Resposta

Por indução finita, concluímos que 8 divide 3^2n-1 para todo ninN^*.

Exercícios de Livros Relacionados