Demonstre, usando o princípio da indução finita.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que
para todo
. O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática: mostramos um caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base de indução (
):
Calculamos .
Como divide
, temos que
. Logo, a propriedade vale para
.
Calculamos
Como
Passo 3
Passo indutivo — hipótese de indução:
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Isto é, existe inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo — caso
:
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Observe que
Escrevemos
Pela hipótese indutiva,
, então
que é múltiplo de
. E claro,
também é múltiplo de
. Soma de múltiplos de
é múltiplo de
. Portanto
é múltiplo de
, ou seja
Passo 5
Conclusão:
Mostramos que a propriedade vale para e que, se vale para
, então vale para
. Pelo princípio da indução finita, segue que
Mostramos que a propriedade vale para
para todo
.
Resposta
Por indução finita, concluímos que
divide
para todo
.