Demonstre, usando o princípio da indução finita.
2 n >= n+1, forall n in N^*.

Passo 1

Queremos provar por indução finita que
forall n in N^*,;2n >= n+1
O método de indução finita consiste em verificar um caso base e depois mostrar que, se a propriedade vale para um n=k, ela vale também para n=k+1.

Passo 2

Caso base ( n=1): checamos
2cdot1 >= 1+1
Como 2 >= 2 é verdadeiro, o caso base está estabelecido.

Passo 3

Hipótese indutiva: suponha que, para algum k in N^*, valha
2k >= k+1
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar
2(k+1) >= (k+1)+1
Começamos calculando
2(k+1) = 2k + 2
Pela hipótese indutiva 2k >= k+1, temos
2k + 2 >= (k+1) + 2 = k+3
E, como k+3 >= k+2 para todo k in N^*, pela transitividade de >= concluímos
2(k+1) >= k+2 = (k+1)+1
Logo a propriedade vale para n=k+1.

Resposta

Pelo princípio da indução finita, segue que
2n >= n+1
para todo n in N^*.

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