Derivadas direcionais unilaterais em todas as direções, mas sem gradiente A derivada direcional unilateral de
em
na direção
é o número
Mostre que a derivada direcional unilateral
na origem é 1 em qualquer direção, mas que
não tem vetor gradiente na origem.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de derivada direcional unilateral
no caso de
e
.
Além disso, lembraremos que, se existisse o vetor gradiente , então para toda direção unitária
deveria valer
Além disso, lembraremos que, se existisse o vetor gradiente
Passo 2
Vamos calcular
Como
, e tomando
unitário (isto é,
), temos
Logo
em qualquer direção unitária
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista
. Então deveriam ocorrer as igualdades
para todo vetor unitário
.
Passo 4
Não existe nenhum vetor
que satisfaça
para todas as direções
(basta variar
dentro da esfera unitária para ver que não há solução). Portanto chega-se a uma contradição: não pode existir gradiente em
.
Resposta
A derivada direcional unilateral de
na origem é igual a
em qualquer direção unitária, mas não há vetor gradiente de
na origem.