Derivadas direcionais unilaterais em todas as direções, mas sem gradiente A derivada direcional unilateral de f em P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) na direção u=u_{1} i, u_{2} j, u_{3} k é o número
\lim _{s \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+s u_{1}, y_{0}+s u_{2}, z_{0}+s u_{3}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{s}
Mostre que a derivada direcional unilateral \mathfrak{E}
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
na origem é 1 em qualquer direção, mas que f não tem vetor gradiente na origem.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada direcional unilateral
D_{u}^{+}f(P) =\lim_{s\to0^{+}}\frac{f(P+s\,u)-f(P)}{s}
no caso de
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e P=(0,0,0).
Além disso, lembraremos que, se existisse o vetor gradiente \nabla f(0,0,0), então para toda direção unitária u deveria valer
D_{u}^{+}f(0,0,0)=\nabla f(0,0,0)\cdot u.

Passo 2

Vamos calcular
D_{u}^{+}f(0,0,0) =\lim_{s\to0^{+}}\frac{f(su_{1},su_{2},su_{3})-f(0,0,0)}{s}.
Como f(su_{1},su_{2},su_{3})=\sqrt{(su_{1})^{2}+(su_{2})^{2}+(su_{3})^{2}}=|s|\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}, e tomando u unitário (isto é, \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}=1), temos
\frac{f(su)-f(0)}{s} =\frac{|s|\cdot1}{s} =1 \quad\text{para }s>0.
Logo
D_{u}^{+}f(0,0,0)=1
em qualquer direção unitária u.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista \nabla f(0,0,0)=(a,b,c). Então deveriam ocorrer as igualdades
\nabla f(0,0,0)\cdot u = a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3} =D_{u}^{+}f(0,0,0)=1
para todo vetor unitário u=(u_{1},u_{2},u_{3}).

Passo 4

Não existe nenhum vetor (a,b,c) que satisfaça a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}=1 para todas as direções u (basta variar u dentro da esfera unitária para ver que não há solução). Portanto chega-se a uma contradição: não pode existir gradiente em (0,0,0).

Resposta

A derivada direcional unilateral de f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} na origem é igual a 1 em qualquer direção unitária, mas não há vetor gradiente de f na origem.

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