Ângulo entre vetores As equações
definem
e
como funções diferenciáveis de
e
. Mostre que o angulo entre os vetores
Passo 1
O enunciado dá as duas equações implícitas em
:
que definem
e
diferencialmente. Queremos mostrar que os vetores
são ortogonais, isto é, o ângulo entre eles é
.
Passo 2
Usamos derivação implícita e a regra de Cramer. Definindo as derivadas parciais de
:
O determinante principal é
Pelo método de Cramer obtemos
Passo 3
O produto escalar é
Fatorando
e usando as relações
e
verifica-se que esse numerador se anula. Logo
Passo 4
Como o produto escalar de
por
vale zero, concluímos que os vetores são ortogonais. Portanto, o ângulo entre eles é
Resposta
O ângulo entre
e
é
.