Ângulo entre vetores As equações e^{y} \cos v-x=0 \mathrm{e} e^{u} \operatorname{sen} v-y=0 definem u e v como funções diferenciáveis de x e y. Mostre que o angulo entre os vetores
\frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{j} \quad \text { e } \quad \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá as duas equações implícitas em (x,y,u,v):
F_1(x,y,u,v)=e^y\cos v - x =0, \quad F_2(x,y,u,v)=e^u\sin v - y=0,
que definem u=u(x,y) e v=v(x,y) diferencialmente. Queremos mostrar que os vetores
\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\mathbf{j} \quad\text{e}\quad \nabla v = \frac{\partial v}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial v}{\partial y}\,\mathbf{j}
são ortogonais, isto é, o ângulo entre eles é \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Usamos derivação implícita e a regra de Cramer. Definindo as derivadas parciais de F_1,F_2:
F_{1x}=-1,\quad F_{1y}=e^y\cos v,\quad F_{1u}=0,\quad F_{1v}=-e^y\sin v,
F_{2x}=0,\quad F_{2y}=-1,\quad F_{2u}=e^u\sin v,\quad F_{2v}=e^u\cos v.
O determinante principal é
\Delta =F_{1u}F_{2v}-F_{1v}F_{2u} =e^{u+y}\sin^2v.
Pelo método de Cramer obtemos
u_x =-\frac{F_{1x}F_{2v}-F_{1v}F_{2x}}{\Delta} =\frac{e^u\cos v}{e^{u+y}\sin^2v}, \quad v_x =-\frac{F_{1u}F_{2x}-F_{1x}F_{2u}}{\Delta} =-\frac{e^u\sin v}{e^{u+y}\sin^2v},
u_y =-\frac{F_{1y}F_{2v}-F_{1v}F_{2y}}{\Delta} =\frac{e^y\sin v-e^{u+y}\cos^2v}{e^{u+y}\sin^2v}, \quad v_y =-\frac{F_{1u}F_{2y}-F_{1y}F_{2u}}{\Delta} =\frac{e^{u+y}\sin v\cos v}{e^{u+y}\sin^2v}.

Passo 3

O produto escalar é
\nabla u\cdot\nabla v =u_x\,v_x + u_y\,v_y =\frac{1}{\Delta^2}\Bigl[(e^u\cos v)(-e^u\sin v) +(e^y\sin v-e^{u+y}\cos^2v)(e^{u+y}\sin v\cos v)\Bigr].
Fatorando e^{2u+y}\sin v\cos v e usando as relações
\,e^y\cos v=x,\;e^u\sin v=y e \sin^2v+\cos^2v=1, verifica-se que esse numerador se anula. Logo
\nabla u\cdot\nabla v=0.

Passo 4

Como o produto escalar de \nabla u por \nabla v vale zero, concluímos que os vetores são ortogonais. Portanto, o ângulo entre eles é
\boxed{\frac{\pi}{2}}.

Resposta

O ângulo entre \nabla u e \nabla v é \tfrac{\pi}{2}.

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