38 Desenhe o gráfico de uma função que seja crescente no intervalo [-2,0] e decrescente no intervalo [0,2].
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o gráfico de uma função que seja crescente em [-2,0] e depois decrescente em [0,2]. O conteúdo é monotonicidade e esboço de gráfico; para resolver vamos escolher uma função simples e verificar monotonicidade em cada trecho.
Passo 2
Escolhemos uma função peça-por-peça linear, por exemplo
f(x)= \begin{cases} x, & -2 \le x \le 0,\\\\ -\,x, & 0 \le x \le 2. \end{cases}
Essa é fácil de desenhar e testar.
Passo 3
Verificação de monotonicidade:
Se -2 \le x_1 < x_2 \le 0, então f(x_1)=x_1<x_2=f(x_2). Logo f é crescente em [-2,0].
Se 0 \le x_1 < x_2 \le 2, então f(x_1)=-x_1>-x_2=f(x_2). Logo f é decrescente em [0,2].
Passo 4
Para esboçar o gráfico, note que:
Em x=-2 temos f(-2)=-2, e em x=0 temos f(0)=0. Isso é o segmento de reta de (-2,-2) até (0,0).
Em x=0 novamente f(0)=0, e em x=2 temos f(2)=-2. Isso é o segmento de reta de (0,0) até (2,-2).
O gráfico forma um “V” com vértice em (0,0), subindo de (-2,-2) a (0,0) e depois descendo a (2,-2).
Resposta
A função exemplo é
f(x)= \begin{cases} x, & -2 \le x \le 0,\\\\ -\,x, & 0 \le x \le 2, \end{cases}
e seu gráfico é o polígono de vértices (-2,-2), (0,0), (2,-2), cumprindo crescente em [-2,0] e decrescente em [0,2].
Cálculo - Sheldon Axler - Pré-Cálculo - Uma Preparação para o Cálculo - Vol1 - 2ª Edição - Capítulo 1.1.6 Problemas - Ex. 38