Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )): f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: b) a=-1, b=1;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série trigonométrica de Fourier de
no intervalo (-\pi,\pi), e depois determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em x=\pm\pi. Em seguida, examinar o caso particular a=-1,\;b=1. Para isso vamos usar as fórmulas padrão
Nos pontos de descontinuidade (aqui só em x=\pm\pi) a soma da série vale a média dos limites laterais. Como \;f(\pi^-)=b\pi, \;f(-\pi^+)=a(-\pi)=-a\pi,
temos
\text{soma em }x=\pm\pi \;=\;\frac{b\pi+(-a\pi)}{2} =\frac{(b-a)\,\pi}{2}.
Em x=0 a função é contínua f(0^-)=f(0^+)=0, logo a soma vale 0.
Passo 7
No caso particular a=-1,\;b=1\) a função fica
\[f(x)= \begin{cases} -\,x,& -\pi<x\le0,\\\ \;\;x,& 0\le x<\pi, \end{cases}
isto é f(x)=|x|\]. Substituindo em dos coeficientes: \(\;a_0=(1-(-1))\pi/2=\pi, \;a_n=-4/(\pi\,n^2) para n ímpar e zero para n par, \;b_n=0.