Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: b) a=-1, b=1;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série trigonométrica de Fourier de
f(x)= \begin{cases} a\,x,& -\pi<x\le0,\\\ b\,x,& 0\le x<\pi, \end{cases}
no intervalo (-\pi,\pi), e depois determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em x=\pm\pi. Em seguida, examinar o caso particular a=-1,\;b=1. Para isso vamos usar as fórmulas padrão
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e construir
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Passo 2

Calculamos
a_0=\frac1\pi\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\,x\,dx+\int_{0}^{\pi}b\,x\,dx\Bigr) =\frac1\pi\Bigl[a\frac{x^2}{2}\Big|_{-\pi}^{0}+b\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{\pi}\Bigr] =\frac{(b-a)\,\pi}{2}.
Logo
\frac{a_0}{2}=\frac{(b-a)\,\pi}{4}.

Passo 3

Para a_n fazemos integração por partes em cada trecho. O resultado combinado é
a_n =\frac{a-b}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2} \;=\; \begin{cases} \dfrac{2\,(a-b)}{\pi\,n^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 4

Para b_n, integração por partes dá
b_n =-\frac{(-1)^n}{n}(a+b) \;=\; \frac{(-1)^{n+1}(a+b)}{n}.

Passo 5

A expansão geral é
f(x)\sim \frac{(b-a)\,\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{2\,(a-b)}{\pi\,n^2}\,\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(a+b)}{n}\,\sin(nx).

Passo 6

Nos pontos de descontinuidade (aqui só em x=\pm\pi) a soma da série vale a média dos limites laterais. Como \;f(\pi^-)=b\pi, \;f(-\pi^+)=a(-\pi)=-a\pi,
temos
\text{soma em }x=\pm\pi \;=\;\frac{b\pi+(-a\pi)}{2} =\frac{(b-a)\,\pi}{2}.
Em x=0 a função é contínua f(0^-)=f(0^+)=0, logo a soma vale 0.

Passo 7

No caso particular a=-1,\;b=1\) a função fica \[f(x)= \begin{cases} -\,x,& -\pi<x\le0,\\\ \;\;x,& 0\le x<\pi, \end{cases}
isto é f(x)=|x|\]. Substituindo em dos coeficientes: \(\;a_0=(1-(-1))\pi/2=\pi, \;a_n=-4/(\pi\,n^2) para n ímpar e zero para n par, \;b_n=0.

Passo 8

Portanto a série de Fourier de \;f(x)=|x|\; é
|x|\sim \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^2}.
Dentro de (-\pi,\pi) ela converge a |x|. Em x=\pm\pi converge a \pi. Fora do intervalo, repete-se periodicamente com período 2\pi.

Resposta

A expansão geral é
f(x)\sim \frac{(b-a)\,\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{2\,(a-b)}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(a+b)}{n}\sin(nx),
com soma 0 em x=0 e \tfrac{(b-a)\pi}{2} em x=\pm\pi.
Para a=-1,\;b=1:
|x|\sim \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^2},
que converge a |x| em (-\pi,\pi) e a \pi em x=\pm\pi.

Exercícios de Livros Relacionados