Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo (
), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo (
); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo (
)):
.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo
, a função
determinar a que valor a série converge em pontos de descontinuidade (especialmente em
e
) e esboçar o gráfico de
no intervalo e da extensão periódica dada pela soma da série. Vamos usar as fórmulas padrão para os coeficientes
de uma série de Fourier em
.
Passo 2
Cálculo de
. Por definição,
Integramos:
Logo
e o termo constante na série é
Passo 3
Cálculo de
e
.
Por definição,
Por definição,
Usando a primitiva de
e separando em parte real e imaginária, obtém‐se após avaliação em
:
Passo 4
Escrevendo a série de Fourier completa em
:
Passo 5
Soma nos pontos de descontinuidade e extremos.
A extensão periódica de sofre salto em
, pois
A extensão periódica de
Pela propriedade da convergência de séries de Fourier em descontinuidades, a soma vale o valor médio:
Em qualquer
, a série converge para
.
Passo 6
Gráficos.
- No interior de
, o gráfico de é a curva exponencial crescente (se ) ou decrescente (se ). - A extensão periódica repete esse trecho de comprimento
, apresentando saltos de em cada múltiplo de . - A soma da série coincide com
dentro de e assume o valor em .
Resposta
A série de Fourier de
em
é
Em
a série converge para
No interior do intervalo a soma da série é exatamente
, e fora de
obtemos a extensão periódica com saltos em cada extremidade de período.