Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=e^{a x}.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo (-\pi,\pi), a função
f(x)=e^{a x},
determinar a que valor a série converge em pontos de descontinuidade (especialmente em x=-\pi e x=\pi) e esboçar o gráfico de f(x) no intervalo e da extensão periódica dada pela soma da série. Vamos usar as fórmulas padrão para os coeficientes
a_0,\;a_n,\;b_n
de uma série de Fourier em (-\pi,\pi).

Passo 2

Cálculo de a_0. Por definição,
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{a x}\,dx.
Integramos:
\int_{-\pi}^{\pi}e^{a x}\,dx =\Bigl[\tfrac{e^{a x}}{a}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\frac{e^{a\pi}-e^{-a\pi}}{a} =2\,\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a}.
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a_0 = \frac{2\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,a},
e o termo constante na série é
\frac{a_0}{2} =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,a}.

Passo 3

Cálculo de a_n e b_n.
Por definição,
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{a x}\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{a x}\sin(nx)\,dx.
Usando a primitiva de e^{a x}\,e^{\pm i n x} e separando em parte real e imaginária, obtém‐se após avaliação em x=\pm\pi:
a_n = \frac{2\,a\,(-1)^n\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}, \qquad b_n = -\frac{2\,n\,(-1)^n\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}.

Passo 4

Escrevendo a série de Fourier completa em (-\pi,\pi):
e^{a x} =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,a} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,\operatorname{sinh}(a\pi)\,(-1)^n}{\pi\,(a^2+n^2)} \bigl(a\cos(nx)-n\sin(nx)\bigr).

Passo 5

Soma nos pontos de descontinuidade e extremos.
A extensão periódica de e^{a x} sofre salto em x=\pm\pi, pois
\lim_{x\to\pi^-}e^{a x}=e^{a\pi}, \quad \lim_{x\to(-\pi)^+}e^{a x}=e^{-a\pi}.
Pela propriedade da convergência de séries de Fourier em descontinuidades, a soma vale o valor médio:
S(\pm\pi) =\frac{e^{a\pi}+e^{-a\pi}}{2} =\operatorname{cosh}(a\pi).
Em qualquer x\in(-\pi,\pi), a série converge para e^{a x}.

Passo 6

Gráficos.
  1. No interior de (-\pi,\pi), o gráfico de f(x) é a curva exponencial crescente (se a>0) ou decrescente (se a<0).
  2. A extensão periódica repete esse trecho de comprimento 2\pi, apresentando saltos de e^{a\pi}-e^{-a\pi} em cada múltiplo de \pi.
  3. A soma da série coincide com e^{a x} dentro de (-\pi,\pi) e assume o valor \operatorname{cosh}(a\pi) em x=\pm\pi.

Resposta

A série de Fourier de f(x)=e^{a x} em (-\pi,\pi) é
e^{a x} =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,a} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,\operatorname{sinh}(a\pi)\,(-1)^n}{\pi\,(a^2+n^2)} \bigl(a\cos(nx)-n\sin(nx)\bigr).
Em x=\pm\pi a série converge para
\frac{e^{a\pi}+e^{-a\pi}}{2} =\operatorname{cosh}(a\pi).
No interior do intervalo a soma da série é exatamente e^{a x}, e fora de (-\pi,\pi) obtemos a extensão periódica com saltos em cada extremidade de período.

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