O que é a desigualdade do triângulo? Qual o seu significado geométrico? E sua importância?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a desigualdade triangular:
– A formulação algébrica (o que ela é).
– O significado geométrico (por que “triângulo”).
– A importância (para que serve em matemática).
Vamos trabalhar no contexto de um espaço vetorial real \mathbb{R}^n com norma euclidiana e também na linguagem de distâncias em espaços métricos.

Passo 2

Definição algébrica em termos de norma vetorial: para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^n, a desigualdade do triângulo afirma
\|u + v\| \;\le\;\|u\| + \|v\|
onde \|\cdot\| é a norma euclidiana, isto é, \|w\| = \sqrt{w_1^2 + \cdots + w_n^2}.
Em termos de distância num espaço métrico (X,d), dizemos que para quaisquer pontos x,y,z\in X vale
d(x,z)\;\le\;d(x,y) + d(y,z).

Passo 3

Significado geométrico: considere três pontos A,B,C num plano ou no espaço. As distâncias são
AB = d(A,B),\quad BC = d(B,C),\quad AC = d(A,C).
A desigualdade
AC \;\le\; AB + BC
diz que, para ir de A até C, caminhar passando por B nunca é mais curto do que ir direto. Em outras palavras, “a soma de dois lados de um triângulo é sempre maior ou igual ao terceiro lado”.

Passo 4

Importância da desigualdade triangular:
– É axiomática em qualquer definição de distância (fundamento de espaços métricos).
– Garante que a reta é o caminho mais curto, base para otimização e geometria.
– Serve para estimar erros e mostrar convergência em análise (por ex., \|x_n - x\|\le\|x_n - y\|+\|y-x\|).
– Permite provar propriedades de continuidade, completude e muitos teoremas em análise funcional e geometria.

Resposta

A desigualdade do triângulo é
\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|,
ou, em termos de distância,
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Geometricamente significa que, num triângulo, a soma de dois lados é sempre maior ou igual ao terceiro. Ela é fundamental porque define a noção de distância em espaços métricos, garante que o caminho retilíneo seja o mais curto e serve de ferramenta essencial em análise, otimização e geometria.

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