Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
e
têm a mesma idade
Passo 1
O enunciado nos dá a relação
no conjunto de todas as pessoas e pede para verificar se
é uma relação de equivalência. Para isso, vamos checar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação da reflexividade.
Uma relação é reflexiva se, para todo elemento
, tivermos
.
Aqui, para qualquer pessoa , é claro que a idade de
é igual a si mesma, ou seja,
Uma relação
Aqui, para qualquer pessoa
logo
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria.
Uma relação é simétrica se, sempre que
, então
.
Suponha . Isso significa que
Uma relação
Suponha
Mas então também vale
o que implica
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade.
Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Suponha e
. Então
Uma relação
Suponha
Pela igualdade, segue
de modo que
. Logo,
é transitiva.
Resposta
A relação “mesma idade” é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência. Nenhuma propriedade falta.