Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(a, b) \mid a e b têm a mesma idade \}\

Passo 1

O enunciado nos dá a relação
R = \{(a,b)\mid a\text{ e }b\text{ têm a mesma idade}\}ê
no conjunto de todas as pessoas e pede para verificar se R é uma relação de equivalência. Para isso, vamos checar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação da reflexividade.
Uma relação R é reflexiva se, para todo elemento a, tivermos (a,a)\in R.
Aqui, para qualquer pessoa a, é claro que a idade de a é igual a si mesma, ou seja,
\text{idade}(a)=\text{idade}(a),
logo (a,a)\in R. Portanto, R é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria.
Uma relação R é simétrica se, sempre que (a,b)\in R, então (b,a)\in R.
Suponha (a,b)\in R. Isso significa que
\text{idade}(a)=\text{idade}(b).
Mas então também vale
\text{idade}(b)=\text{idade}(a),
o que implica (b,a)\in R. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade.
Uma relação R é transitiva se, sempre que (a,b)\in R e (b,c)\in R, então (a,c)\in R.
Suponha (a,b)\in R e (b,c)\in R. Então
\text{idade}(a)=\text{idade}(b) \quad\text{e}\quad \text{idade}(b)=\text{idade}\text{(c)}.
Pela igualdade, segue
\text{idade}(a)=\text{idade}\text{(c)},
de modo que (a,c)\in R. Logo, R é transitiva.

Resposta

A relação “mesma idade” é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência. Nenhuma propriedade falta.

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