Determinar a área do domínio delimitado por uma semi-onda de sinusóide e o eixo das abcissas. Resp. 2.

Passo 1

O enunciado pede a área do domínio delimitado por uma semi-onda de seno e o eixo x. Em outras palavras, é a área sob o gráfico da função sin(x) desde a primeira raiz até a segunda, onde sin(x) passa pelo eixo das abscissas. Para resolver, vamos usar o conceito de integral definida como área sob a curva.

Passo 2

Identificamos que sin(x)=0 em x=0 e em x=pi, e que sin(x)>=0 para todo xin[0,pi]. Logo, a área buscada é
integral0^pisin(x),dx
Aqui aplicamos o fato de que, para uma função contínua e não negativa em [a,b], a área sob a curva é dada por integrala^b f(x),dx.

Passo 3

Precisamos do antiderivada de sin(x). Sabemos que
integral sin(x),dx = -cos(x) + C
Esse é o passo de fundamentação teórica: reconhecer qual função derivada retorna sin(x).

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
integral0^pisin(x),dx = l[-cos(x)r]0^pi = l(-cos(pi)r) - l(-cos(0)r) = -(-1) - (-(1)) = 1 + 1 = 2

Resposta

2

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