Determinar a área da figura delimitada pela hipérbole equilatera x y=a^2, o eixo O x e as rectas x=a, x=2 a. Resp. a^2 log 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela hipérbole equilátera xy=a^2, pelo eixo Ox (isto é, y=0) e pelas retas verticais x=a e x=2a. Vamos usar integração simples em x para encontrar essa área.

Passo 2

Isolamos y em função de x na hipérbole:
y = a^2x
A região está abaixo dessa curva e acima de y=0, entre x=a e x=2a. Portanto, a área é
A = integralx=a^x=2a y,dx = integrala^2a a^2x,dx

Passo 3

Usamos a primitiva de 1/x, que é ln|x|. Logo,
A = a^2 integrala^2a 1x,dx = a^2 l[ln|x|r]a^2a

Passo 4

Avaliando nos limites:
A = a^2l(ln(2a) - ln(a)r) = a^2ln!l(2aar) = a^2ln 2

Resposta

a^2 ln 2

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