Determinar a matriz de cada uma das seguintes transformações lineares de Vn em Vn:
(c) multiplicação por um escalar dado c.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear
Tcolon Vnto Vn, T(v)=c,v
onde c é um escalar fixo e Vn é um espaço vetorial de dimensão n. Para representar T como matriz, escolhemos a base canônica e1,e2,dots,en de Vn.

Passo 2

Lembrando que a matriz de uma transformação linear é obtida aplicando-a aos vetores da base e expressando o resultado em coordenadas relativas à mesma base. Aqui, como a base é canônica, basta ver como T age em cada ei.

Passo 3

Para cada iin1,2,dots,n temos
T(ei)=c,ei

Passo 4

Na base canônica, o vetor c,ei tem coordenadas nulas, exceto a i-ésima posição, que vale c. Portanto, a i-ésima coluna da matriz M(T) é
l[,T(ei)r] = 0 vdots c vdots 0 ,
com c na linha i.

Passo 5

Repetindo isso para todo i, obtemos uma matriz diagonal cujas entradas são todas iguais a c. Ou seja,
M(T)= c & 0 & cdots & 0 0 & c & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c = c,In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Resposta

M(T)=c,In

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