Determinar a matriz de cada uma das seguintes transformações lineares de em :
(c) multiplicação por um escalar dado .
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear
onde é um escalar fixo e é um espaço vetorial de dimensão . Para representar como matriz, escolhemos a base canônica de .
Passo 2
Lembrando que a matriz de uma transformação linear é obtida aplicando-a aos vetores da base e expressando o resultado em coordenadas relativas à mesma base. Aqui, como a base é canônica, basta ver como age em cada .
Passo 3
Para cada temos
Passo 4
Na base canônica, o vetor tem coordenadas nulas, exceto a -ésima posição, que vale . Portanto, a -ésima coluna da matriz é
com c na linha i.
Passo 5
Repetindo isso para todo i, obtemos uma matriz diagonal cujas entradas são todas iguais a c. Ou seja,