Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e, depois, aproxime o valor até a precisão de um grau.)
15. \mathbf{u}=\langle 5,1\rangle, \quad \mathbf{v}=\langle 3,2\rangle

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo \theta entre os vetores \mathbf{u}=\langle5,1\rangle e \mathbf{v}=\langle3,2\rangle. O conteúdo principal é produto escalar e norma de vetor, e a fórmula que relaciona o ângulo é
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Calculemos o produto escalar e as normas:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 5\cdot3 + 1\cdot2 = 15 + 2 = 17,
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}.

Passo 3

Substituindo na definição de cosseno:
\cos\theta = \frac{17}{\sqrt{26}\,\sqrt{13}} = \frac{17}{\sqrt{338}}.
Logo a expressão exata para o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{17}{\sqrt{338}}\bigr).

Passo 4

Para aproximar numericamente, primeiro calcule
\frac{17}{\sqrt{338}}\approx 0{,}92467,
então
\theta \approx \operatorname{arccos}(0{,}92467)\quad\text{em radianos}
e convertendo para graus:
\theta \approx 22{,}2^\circ.
Arredondando à precisão de um grau, temos \theta\approx22^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{17}{\sqrt{338}}\bigr)\approx22^\circ.

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