18 Determine o comprimento de ambas as diagonais em um paralelogramo que tem dois lados de comprimento 5, dois lados de comprimento 11 e dois ângulos de 41^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo com dois lados de comprimento 5, dois lados de comprimento 11 e um ângulo interno de 41^\circ. Precisamos determinar o comprimento das duas diagonais usando conceitos de trigonometria e o teorema dos cossenos aplicado aos triângulos formados por cada diagonal.

Passo 2

Em qualquer paralelogramo de lados a e b e ângulo interno \theta, as diagonais dividem o paralelogramo em dois pares de triângulos. Pelo teorema dos cossenos, no triângulo que tem lados a, b e diagonal d_1 subtendendo o ângulo \theta, vale
d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta.
No outro triângulo, a diagonal d_2 subtende o ângulo suplementar a \theta, e então
d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta.

Passo 3

Aqui a=5, b=11 e \theta=41^\circ. Substituindo em cada fórmula:
d_1^2 = 5^2 + 11^2 + 2\cdot5\cdot11\cos(41^\circ),
d_2^2 = 5^2 + 11^2 - 2\cdot5\cdot11\cos(41^\circ).

Passo 4

Calculemos \cos(41^\circ)\approx0,7547 e avaliemos os radicandos:
d_1^2 \approx 25 + 121 + 110\cdot0,7547 = 146 + 83,02 = 229,02,
d_2^2 \approx 146 - 83,02 = 62,98.
Extraindo raiz quadrada:
d_1 \approx \sqrt{229,02}\approx15,13,
d_2 \approx \sqrt{62,98}\approx7,94.

Resposta

Os comprimentos das diagonais são aproximadamente \,15,13 e \,7,94.

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