Determine dois números positivos cuja soma é 50 e cujo produto é o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede dois números positivos cuja soma é 50 e cujo produto seja máximo. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável com restrição, que podemos tratar reduzindo a duas variáveis a uma única função real e usando derivadas.
Passo 2
Seja
o primeiro número. Como a soma deve ser 50, o segundo número é
. O produto desses números é
Note que queremos
e
, logo
.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, calculemos a derivada:
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 4
Para verificar que esse ponto é um máximo, calculemos a segunda derivada:
Como
,
tem um máximo em
.
Passo 5
No máximo,
. Então o outro número é
O produto máximo vale
Resposta
Os dois números são
e
, e o produto máximo é
.