Determine dois números positivos cuja soma é 50 e cujo produto é o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede dois números positivos cuja soma é 50 e cujo produto seja máximo. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável com restrição, que podemos tratar reduzindo a duas variáveis a uma única função real e usando derivadas.

Passo 2

Seja x o primeiro número. Como a soma deve ser 50, o segundo número é y = 50 - x. O produto desses números é
P(x) = x \cdot y = x \,(50 - x).
Note que queremos x>0 e y>0, logo 0 < x < 50.

Passo 3

Para encontrar o valor de x que maximiza P(x), calculemos a derivada:
P'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[x\,(50 - x)\bigr] = 50 - 2x.
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico:
50 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 25.

Passo 4

Para verificar que esse ponto é um máximo, calculemos a segunda derivada:
P''(x) = \frac{d}{dx}(50 - 2x) = -2 < 0.
Como P''(25)<0, P tem um máximo em x=25.

Passo 5

No máximo, x = 25. Então o outro número é
y = 50 - x = 50 - 25 = 25.
O produto máximo vale
P_{\max} = 25 \times 25 = 625.

Resposta

Os dois números são 25 e 25, e o produto máximo é 625.

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