Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x)=2 xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=2xx^2+1
Para isso vamos usar que o domínio é dado pelos valores de x que não anulam o denominador, e que a imagem de uma função contínua em R pode ser obtida achando-se extremos via derivada e observando-se o comportamento nos limites infinítos.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo x^2+1neq0. Como x^2+1>=1 para todo xinR, nunca zera, temos
Domínio(f)=xmid x^2+1neq0=R í

Passo 3

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de f:
f'(x) =2,(x^2+1)-2xcdot 2x(x^2+1)^2 =2-2x^2(x^2+1)^2
Zerando o numerador, 2-2x^2=0, obtém-se x^2=1, isto é, x=pm1.

Passo 4

Avaliamo-s f em x=1 e x=-1:
f(1)=2cdot 11+1=1, f(-1)=2cdot (-1)1+1=-1
Logo, há candidato a máximo igual a 1 e a mínimo igual a -1.

Passo 5

Analisamos o comportamento assintótico:
limxtopminfty2xx^2+1 =limxtopminfty2x+tfrac1x=0
Isso mostra que, fora dos extremos, f se aproxima de 0 mas não ultrapassa os valores -1 e 1.

Passo 6

Como f é contínua em R, atinge todos os valores entre seu mínimo -1 e seu máximo 1. Portanto a imagem é o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

Domínio: R
Imagem: [-1,1]

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