Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
Para isso vamos usar que o domínio é dado pelos valores de
que não anulam o denominador, e que a imagem de uma função contínua em
pode ser obtida achando-se extremos via derivada e observando-se o comportamento nos limites infinítos.
Passo 2
Determinamos o domínio exigindo
. Como
para todo
, nunca zera, temos
Passo 3
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de
:
Zerando o numerador,
, obtém-se
, isto é,
.
Passo 4
Avaliamo-s
em
e
:
Logo, há candidato a máximo igual a
e a mínimo igual a
.
Passo 5
Analisamos o comportamento assintótico:
Isso mostra que, fora dos extremos,
se aproxima de
mas não ultrapassa os valores
e
.
Passo 6
Como
é contínua em
, atinge todos os valores entre seu mínimo
e seu máximo
. Portanto a imagem é o intervalo fechado
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: