Determine m para que a equação do 2 grau m x^2-2(m-1) x-m-1=0 tenha uma única raiz entre -1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede o(s) valor(es) de m para que a equação
m x^2-2(m-1)x-(m+1)=0
tenha exatamente uma raiz no intervalo aberto (-1,2). O conteúdo envolve função quadrática e o Teorema do Valor Intermediário: vamos definir
f(x)=m x^2-2(m-1)x-(m+1)
e exigir que f(-1)cdot f(2)<0 (para garantir uma raiz em (-1,2)) além de manter mneq0 (para ser de segundo grau).

Passo 2

Calculamos os valores de f em -1 e em 2.
f(-1)=mcdot(-1)^2-2(m-1)(-1)-(m+1) = m + 2(m-1)-(m+1) =2m-3
f(2)=mcdot2^2-2(m-1)cdot2-(m+1) =4m-4(m-1)-(m+1) =3-m

Passo 3

Impor f(-1),f(2)<0
(2m-3),(3-m)<0
As raízes dessa expressão são m=tfrac32 e m=3, e o produto é negativo quando
m<tfrac32 ou m>3

Passo 4

Como a equação é de segundo grau, excluímos m=0. Também não admitimos m=tfrac32 nem m=3 (esses casos levam a raiz exatamente em -1 ou em 2, e não no intervalo aberto).

Resposta

min(-infty,0)cup(0,tfrac32)cup(3,infty)

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