Dentre os números inteiros que são soluções da inequação (x^2-21 x+20) cdot(3-x)>0, qual é o maior?

Passo 1

O enunciado pede o maior inteiro que satisfaz
(x^2 - 21x + 20),(3 - x) > 0
O conteúdo é resolução de inequações polinomiais por análise de sinal: precisamos fatorar o polinômio, identificar as raízes e estudar o sinal em cada intervalo determinado por elas.

Passo 2

Começamos fatorando o trinômio
x^2 - 21x + 20 = (x - 1)(x - 20)
Logo a inequação fica
(x - 1)(x - 20)(3 - x) > 0

Passo 3

As raízes são x=1, x=20 e x=3. Ordenando em crescente:
1, 3, 20
Agora examinamos o sinal do produto em cada intervalo:
  • Para x<1: (x-1)<0, (x-20)<0, (3-x)>0 Rightarrow produto >0.
  • Para 1<x<3: sinais Rightarrow (+) cdot (-) cdot (+) = -.
  • Para 3<x<20: sinais Rightarrow (+) cdot (-) cdot (-) = +.
  • Para x>20: sinais Rightarrow (+) cdot (+) cdot (-) = -.
    Portanto a solução real é
x<1ou 3<x<20

Passo 4

Os inteiros que satisfazem isso são todos os x<=0 e ainda x=4,5,dots,19. Desses, o maior inteiro é
19

Resposta

19

Exercícios de Livros Relacionados