Determine m para que a equação do 2 grau 3 x^2-2(m+2) x+m^2-6 m+8=0 tenha raízes reais tais que x1<1<x2<4.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que a equação
3x^2-2(m+2)x+m^2-6m+8=0
tenha raízes reais x1<x2 satisfazendo x1<1<x2<4. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e, para que 1 fique entre as raízes, basta ter f(1)<0. Para que 4 fique à direita da maior raiz, basta ter f(4)>0. Além disso precisamos de raízes reais distintas, isto é, discriminante De<a>0.

Passo 2

Calculamos o discriminante
De<a = [-2(m+2)]^2 - 4cdot3cdotl(m^2-6m+8r) =4(m+2)^2 -12(m^2-6m+8) = -8,(m-1)(m-10)
Exigindo De<a>0 e dividindo por -8 (inverte o sinal) dá
(m-1)(m-10)<0 Longrightarrow 1<m<10

Passo 3

Para x=1 temos
f(1)=3-2(m+2)+m^2-6m+8 = m^2-8m+7
Queremos f(1)<0. As raízes de m^2-8m+7=0 são m=1 e m=7, logo
m^2-8m+7<0 Longrightarrow 1<m<7

Passo 4

Para x=4 temos
f(4)=3cdot16 -2(m+2),4 +m^2-6m+8 = m^2-14m+40
Queremos f(4)>0. As raízes de m^2-14m+40=0 são m=4 e m=10, e como o coeficiente de m^2 é positivo,
m^2-14m+40>0 Longrightarrow m<4 ou m>10

Passo 5

Reunindo as condições:
1<m<10, 1<m<7, m<4 ou m>10
A interseção é
1<m<4

Resposta

1<m<4

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