Determine m para que se tenha para forall x in R.
-3<x^2+m x-2x^2-x+1<2

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de m tais que, para todo xinR, valha
-3<x^2+m x-2x^2-x+1<2
O denominador x^2-x+1 é sempre positivo ( De<a=1-4<0), então podemos multiplicar as desigualdades sem inverter sentido. Isso gera duas condições separadas de polinômios no numerador que devem ser estritamente positivas para todo x.

Passo 2

Reescrevendo a parte esquerda da desigualdade:
-3<x^2+m x-2x^2-x+1 ;Long<=ftrightarrow; underbrace(x^2+m x-2)+3(x^2-x+1)N1(x)>0
Calculando:
N1(x)=4x^2+(m-3)x+1

Passo 3

Para que N1(x)>0 para todo x, como o coeficiente de x^2 é 4>0, basta exigir De<a1<0, onde
De<a1=(m-3)^2-4cdot4=(m-3)^2-16<0 ;Long<=ftrightarrow; -4<m-3<4 ;Long<=ftrightarrow; -1<m<7

Passo 4

Agora a parte direita da desigualdade:
x^2+m x-2x^2-x+1<2 ;Long<=ftrightarrow; underbrace2(x^2-x+1)-(x^2+m x-2)N2(x)>0
Calculando:
N2(x)=x^2-(m+2)x+4

Passo 5

Para que N2(x)>0 para todo x, com coeficiente de x^2 igual a 1>0, precisamos de De<a2<0, onde
De<a2=(m+2)^2-4cdot1cdot4=(m+2)^2-16<0 ;Long<=ftrightarrow; -4<m+2<4 ;Long<=ftrightarrow; -6<m<2

Passo 6

Juntando as duas condições sobre m, temos
-1<m<7 e -6<m<2 ;Longrightarrow; -1<m<2

Resposta

-1 < m < 2

Exercícios de Livros Relacionados