Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
\quad\left(x^{2}+2 y^{3}=2 x y^{2}+64 ;(0,2)\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2} + 2y^{3} = 2xy^{2} + 64
e pede a equação da reta tangente no ponto (0,2). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada \tfrac{dy}{dx}, que será o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:
derivada de x^{2} é 2x; derivada de 2y^{3} é 6y^{2}y'.
Do lado direito, aplicamos produto em 2x\,y^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\,y^{2}\bigr) =2\bigl(y^{2} + x\cdot2y\,y'\bigr) =2y^{2} + 4xy\,y'.
Como 64 é constante, sua derivada é zero. Logo a igualdade fica
2x + 6y^{2}y' = 2y^{2} + 4xy\,y'.

Passo 3

Isolando y', obtemos
6y^{2}y' - 4xy\,y' = 2y^{2} - 2x,
y'\,(6y^{2} - 4xy) = 2\,(y^{2} - x),
y' = \frac{2\,(y^{2} - x)}{6y^{2} - 4xy} = \frac{y^{2} - x}{3y^{2} - 2xy}.

Passo 4

No ponto (0,2) temos
y^{2} - x = 4 - 0 = 4, \qquad 3y^{2} - 2xy = 3\cdot4 - 0 = 12,
logo o coeficiente angular é
m = y'(0,2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.

Passo 5

A equação da reta tangente em (0,2) com coeficiente angular m=\tfrac{1}{3} é
y - 2 = \frac{1}{3}(x - 0),
ou, em forma explícita,
y = \frac{x}{3} + 2.

Resposta

y = \frac{x}{3} + 2

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