Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de abscissas dadas:
y=x^5+1x^4+1, x=1

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = x^5 + 1x^4 + 1
e pede as retas tangente e normal no ponto de abscissa x=1. Para isso vamos precisar da derivada y' (regra do quociente) para obter a inclinação da tangente, e em seguida usar a inclinação da normal como o negativo do recíproco dessa derivada.

Passo 2

Temos
u(x) = x^5 + 1, v(x) = x^4 + 1,
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u'(x) = 5x^4, v'(x) = 4x^3
Pela regra do quociente,
y' = u'v - u,v'v^2
y' = 5x^4,(x^4+1) - (x^5+1),4x^3(x^4+1)^2
y' = x^8 + 5x^4 - 4x^3(x^4+1)^2

Passo 3

Em x=1 temos
y(1) = 1^5+11^4+1 = 1, y'(1) = 1^8 + 5cdot1^4 - 4cdot1^3(1^4+1)^2 = 24 = 12
Logo o ponto é (1,1) e a inclinação da tangente é mt = tfrac12.

Passo 4

A reta tangente em (1,1) com inclinação mt satisfaz
y - 1 = 12(x - 1),
que em forma explícita fica
y = 12x + 12

Passo 5

A inclinação da reta normal é o negativo do recíproco de mt, ou seja,
mn = -1mt = -2
Logo a reta normal satisfaz
y - 1 = -2(x - 1)
y = -2x + 3

Resposta

reta tangente: y = 12x + 12
reta normal: y = -2x + 3

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