1-2 Determine e esboce o domínio da função.
(f(x, y)=\sqrt{4-x{2}-y{2}}+\sqrt{1-x^{2}})

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}
em que temos duas raízes quadradas. Para que f esteja bem definida, cada expressão dentro de \sqrt{\;\;} deve ser não negativa.

Passo 2

Analisando \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, impomos
4 - x^{2} - y^{2} \ge 0
que equivale a
x^{2} + y^{2} \le 4.
Geometricamente, isso é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Analisando \sqrt{1-x^{2}}, impomos
1 - x^{2} \ge 0
ou seja
x^{2} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 \le x \le 1.
Isto é a faixa vertical limitada pelas retas x=-1 e x=1.

Passo 4

O domínio de f é a interseção do disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\} com a faixa \{(x,y)\mid -1\le x\le1\}. Em forma de conjunto:
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le x\le1,\;x^{2}+y^{2}\le4\bigr\}.
Em particular, para cada x\in[-1,1] temos
-\sqrt{4-x^{2}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{4-x^{2}}.

Passo 5

Para esboçar, trace o círculo de raio 2 centrado na origem e as retas verticais x=-1 e x=1. O domínio é a “fatia” do disco entre essas duas retas, isto é, a parte sombreada do disco contida em -1\le x\le1.

Resposta

O domínio é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le x\le1,\;-\,\sqrt{4-x^{2}}\le y\le\sqrt{4-x^{2}}\bigr\}.

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