Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
f(x)=x^{4}-6 x^{3}+7 x-5

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=x^{4}-6x^{3}+7x-5
é côncava para cima ou para baixo e encontrar todos os pontos de inflexão.
Conteúdo: análise de concavidade via segunda derivada. Precisamos calcular f'(x), f''(x), achar onde f''(x)=0 e analisar o sinal de f''.

Passo 2

Primeiro derivamos para obter a segunda derivada.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-6x^{3}+7x-5\bigr) =4x^{3}-18x^{2}+7,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-18x^{2}+7\bigr) =12x^{2}-36x =12x(x-3).

Passo 3

Encontramos os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
f''(x)=12x(x-3)=0,
que dá
x=0 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x)=12x(x-3) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  • Para x<0: escolhemos x=-1, então 12\cdot(-1)\cdot(-4)=48>0. Logo é côncava para cima em (-\infty,0).
  • Para 0<x<3: escolhemos x=1, então 12\cdot1\cdot(-2)=-24<0. Logo é côncava para baixo em (0,3).
  • Para x>3: escolhemos x=4, então 12\cdot4\cdot1=48>0. Logo é côncava para cima em (3,\infty).

Passo 5

Como o sinal de f'' troca em x=0 e em x=3, esses são pontos de inflexão. Calculamos as ordenadas:
f(0)=0^{4}-6\cdot0^{3}+7\cdot0-5=-5,
f(3)=3^{4}-6\cdot3^{3}+7\cdot3-5 =81-162+21-5=-65.

Resposta

Concavidade para cima em (-\infty,0)\cup(3,\infty).
Concavidade para baixo em (0,3).
Pontos de inflexão em \bigl(0,-5\bigr) e \bigl(3,-65\bigr).

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