Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
é côncava para cima ou para baixo e encontrar todos os pontos de inflexão.
Conteúdo: análise de concavidade via segunda derivada. Precisamos calcular ,
, achar onde
e analisar o sinal de
.
Conteúdo: análise de concavidade via segunda derivada. Precisamos calcular
Passo 2
Primeiro derivamos para obter a segunda derivada.
Passo 3
Encontramos os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
que dá
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
- Para
: escolhemos , então . Logo é côncava para cima em . - Para
: escolhemos , então . Logo é côncava para baixo em . - Para
: escolhemos , então . Logo é côncava para cima em .
Passo 5
Como o sinal de
troca em
e em
, esses são pontos de inflexão. Calculamos as ordenadas:
Resposta
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão em e
.
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em