Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo e todos os pontos de inflexão. Para isso vamos usar o critério da segunda derivada: onde
a curva é côncava para cima, onde
é côncava para baixo, e pontos de inflexão são valores de
onde
muda de sinal.
Passo 2
Calcular a primeira derivada:
Passo 3
Calcular a segunda derivada e fatorar:
Passo 4
Determinar onde
:
Como
é raiz de multiplicidade par,
não muda de sinal aí. A mudança de sinal só ocorre em
.
Passo 5
Análise de sinal de
:
- Para
:
e , logo . - Para
:
e , logo .
Portanto
– a concavidade é para baixo em,
– a concavidade é para cima em.
Passo 6
O único ponto em que
muda de sinal é
, logo há um ponto de inflexão em
. Para achar a ordenada, calculamos
Resposta
Concavidade para baixo em
.
Concavidade para cima em .
Ponto de inflexão: .
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão: