Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
g(x)=3 x^{5}-25 x^{4}+11 x-17

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=3x^5-25x^4+11x-17
e pede os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo e todos os pontos de inflexão. Para isso vamos usar o critério da segunda derivada: onde g''(x)>0 a curva é côncava para cima, onde g''(x)<0 é côncava para baixo, e pontos de inflexão são valores de x onde g'' muda de sinal.

Passo 2

Calcular a primeira derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^5-25x^4+11x-17\bigr) =15x^4-100x^3+11.

Passo 3

Calcular a segunda derivada e fatorar:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(15x^4-100x^3+11\bigr) =60x^3-300x^2 =60x^2\,(x-5).

Passo 4

Determinar onde g''(x)=0:
60x^2\,(x-5)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ (\text{raiz dupla}),\;x=5.
Como x=0 é raiz de multiplicidade par, g'' não muda de sinal aí. A mudança de sinal só ocorre em x=5.

Passo 5

Análise de sinal de g'':
  • Para x<5:
    x^2>0 e (x-5)<0, logo g''(x)<0.
  • Para x>5:
    x^2>0 e (x-5)>0, logo g''(x)>0.
    Portanto
    – a concavidade é para baixo em (-\infty,5),
    – a concavidade é para cima em (5,\infty).

Passo 6

O único ponto em que g'' muda de sinal é x=5, logo há um ponto de inflexão em x=5. Para achar a ordenada, calculamos
g(5)=3\cdot5^5-25\cdot5^4+11\cdot5-17 =9375-15625+55-17=-6212.

Resposta

Concavidade para baixo em (-\infty,5).
Concavidade para cima em (5,\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(5,-6212\bigr).

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