Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
e determinar onde ela é crescente ou decrescente, onde sua concavidade é para cima ou para baixo, achar extremos relativos e pontos de inflexão e ainda fazer um esboço da curva. Para isso vamos usar cálculo diferencial: a primeira derivada para monotonicidade e a segunda derivada para concavidade, além de verificar zeros de
e
.
Passo 2
Calculando a primeira derivada temos
O único ponto crítico vem de
, ou seja,
com multiplicidade 2.
Passo 3
Para ver onde
cresce ou decresce observamos o sinal de
. Como
para todo
e só é zero em
, concluímos que
– para todo
,
– não há com
.
Logo a função é crescente em todo e não há intervalos de decrescimento.
–
– não há
Logo a função é crescente em todo
Passo 4
Agora a segunda derivada:
O ponto onde
é
Para
temos
(concavidade para baixo) e para
temos
(concavidade para cima).
Passo 5
– Extremos relativos: mesmo tendo
, não há troca de sinal de
em
, então não existe máximo nem mínimo relativos.
– Ponto de inflexão: ocorre em , e o valor da função é
– Ponto de inflexão: ocorre em
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Para esboçar a curva note que
ou seja, é o gráfico de
deslocado 1 para a direita e 2 para cima. Ele cresce sempre, muda de concavidade em
, tende a
quando
e a
quando
.
Resposta
– Crescente em
; não decrescente em nenhum intervalo.
– Concava para baixo em e para cima em
.
– Não há extremos relativos.
– Ponto de inflexão em .
– Esboço: curva cúbica monótona com inflexão em , seguindo a forma de
deslocada.
– Concava para baixo em
– Não há extremos relativos.
– Ponto de inflexão em
– Esboço: curva cúbica monótona com inflexão em