Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+1
e determinar onde ela é crescente ou decrescente, onde sua concavidade é para cima ou para baixo, achar extremos relativos e pontos de inflexão e ainda fazer um esboço da curva. Para isso vamos usar cálculo diferencial: a primeira derivada para monotonicidade e a segunda derivada para concavidade, além de verificar zeros de f' e f''.

Passo 2

Calculando a primeira derivada temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+3x+1\bigr)=3x^{2}-6x+3=3(x^{2}-2x+1)=3(x-1)^{2}.
O único ponto crítico vem de f'(x)=0, ou seja,
x=1,
com multiplicidade 2.

Passo 3

Para ver onde f cresce ou decresce observamos o sinal de f'(x)=3(x-1)^{2}. Como (x-1)^{2}\ge0 para todo x e só é zero em x=1, concluímos que
f'(x)>0 para todo x\neq1,
– não há x com f'(x)<0.
Logo a função é crescente em todo (-\infty,\infty) e não há intervalos de decrescimento.

Passo 4

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3(x-1)^{2}\bigr)=6(x-1).
O ponto onde f''(x)=0 é
x=1.
Para x<1 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>1 temos f''(x)>0 (concavidade para cima).

Passo 5

Extremos relativos: mesmo tendo f'(1)=0, não há troca de sinal de f' em x=1, então não existe máximo nem mínimo relativos.
Ponto de inflexão: ocorre em x=1, e o valor da função é
f(1)=1-3+3+1=2.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(1,2\bigr).

Passo 6

Para esboçar a curva note que
f(x)=(x-1)^{3}+2,
ou seja, é o gráfico de y=x^{3} deslocado 1 para a direita e 2 para cima. Ele cresce sempre, muda de concavidade em (1,2), tende a -\infty quando x\to-\infty e a +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

– Crescente em (-\infty,\infty); não decrescente em nenhum intervalo.
– Concava para baixo em (-\infty,1) e para cima em (1,\infty).
– Não há extremos relativos.
– Ponto de inflexão em \bigl(1,2\bigr).
– Esboço: curva cúbica monótona com inflexão em (1,2), seguindo a forma de y=x^{3} deslocada.

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