Determine a localização e o tipo das singularidades das seguintes funções no plano finito e no infinito. No caso de pólos, diga também qual é a ordem.
z+\frac{2}{z}-\frac{3}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para identificar as singularidades de
f(z)=z+\frac{2}{z}-\frac{3}{z^2}
no plano complexo finito e no infinito, dizendo o tipo de cada singularidade e, se for pólo, sua ordem. O conteúdo aqui é teoria de singularidades isoladas e função em z e em w=1/z.

Passo 2

Para achar as singularidades no plano finito, observamos os pontos em que o denominador de algum termo anula-se. Em
f(z)=z + 2\,z^{-1} - 3\,z^{-2}
apenas z=0 causa um problema (os termos z^{-1} e z^{-2} divergem). Para classificar: escrevemos a parte singular em torno de z=0 como Laurent
\frac{2}{z}-\frac{3}{z^2}= -\,3\,z^{-2} +2\,z^{-1}.
O maior expoente negativo é -2, logo em z=0 temos um pólo de ordem 2.

Passo 3

Para classificar a singularidade em z=\infty, fazemos a mudança w=1/z e analisamos g(w)=f(1/w) perto de w=0:
g(w)=f\bigl(1/w\bigr)=\frac{1}{w} +2\,w -3\,w^2.
Em torno de w=0, a única parte singular é 1/w, de ordem 1. Portanto w=0 é um pólo simples de g, isto é, z=\infty é um pólo de ordem 1 de f.

Resposta

z =0: pólo de ordem 2
z =\infty: pólo de ordem 1

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