Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
f(x)=(3 x-1) e^{-x} para 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o maior e o menor valor de
f(x) = (3x - 1)e^{-x}
no intervalo [0,1].
Conteúdo envolvido: derivada para testar monotonicidade em intervalo fechado e avaliação nos extremos.

Passo 2

Calcular a derivada de f usando a regra do produto e \bigl(e^{-x}\bigr)' = -e^{-x}:
f'(x) = (3x-1)'e^{-x} + (3x-1)\bigl(e^{-x}\bigr)' = 3\,e^{-x} + (3x-1)(-e^{-x}) = \bigl(3 - (3x-1)\bigr)e^{-x} = (4 - 3x)\,e^{-x}.

Passo 3

Como e^{-x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) vem de 4-3x. No intervalo 0\le x\le1 temos
4 - 3x \ge 4 - 3\cdot1 = 1 > 0,
logo f'(x)>0 em [0,1]. Isso significa que f é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 4

Para função crescente em intervalo fechado, o menor valor ocorre em x=0 e o maior em x=1. Avaliando:
f(0) = (3\cdot0 - 1)\,e^{0} = -1,
f(1) = (3\cdot1 - 1)\,e^{-1} = 2\,e^{-1} = \frac{2}{e}.

Resposta

Menor valor: -1, atingido em x=0.
Maior valor: \tfrac{2}{e}, atingido em x=1.

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