Calcule a derivada da função dada.
f(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\!\Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr).
O conteúdo necessário é a regra de derivação de logaritmo natural e a propriedade de logaritmos que transforma o log de quociente na diferença de logs.

Passo 2

Usamos a identidade
\ln\!\Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr)=\ln(x+1)-\ln(x-1)
para reescrever f(x) como diferença de dois logaritmos, o que facilita a derivação.

Passo 3

Derivando termo a termo, e lembrando que \frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}[\ln(x+1)]-\frac{d}{dx}[\ln(x-1)] =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1} =\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} =\frac{x-1-x-1}{x^2-1} =\frac{-2}{x^2-1}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2}{x^2-1}.

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