Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x+1} para 0 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede os extremos (máximo e mínimo) de
f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+1}
no intervalo [0,2].
Conteúdo: extrema de função num intervalo fechado usando derivada e teste de extremantes em pontos críticos e nas fronteiras.

Passo 2

Para simplificar, faça a troca de variável t=x+1. Assim t\in[1,3] e definimos
h(t)=\frac{\ln t}{t}.
Aplicando a regra do quociente em bloco:
h'(t) =\frac{\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\,t - \ln t\cdot 1}{t^2} =\frac{1-\ln t}{t^2}.

Passo 3

O ponto crítico vem de h'(t)=0, isto é,
1-\ln t=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln t=1 \quad\Longrightarrow\quad t=e.
Como t=x+1, o ponto crítico em x é x=e-1\approx1,718.
Além disso, h'(t)>0 para t<e (isto é, x<e-1) e h'(t)<0 para t>e (isto é, x>e-1), logo f cresce em [0,e-1] e decresce em [e-1,2].

Passo 4

Agora avaliamos f em x=0, x=e-1 e x=2:
f(0)=\frac{\ln1}{1}=0
f(e-1)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}
f(2)=\frac{\ln3}{3}
Comparando 0, \tfrac{1}{e}\approx0,368 e \tfrac{\ln3}{3}\approx0,366, vemos que o mínimo é 0 em x=0 e o máximo é \tfrac{1}{e} em x=e-1.

Resposta

Mínimo: f(0)=0.
Máximo: f(e-1)=\frac{1}{e}.

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