Calcule a derivada da função dada.
f(t)=t^{2} \ln \sqrt[3]{t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=t^{2}\ln\sqrt[3]{t}. O conteúdo aqui envolve regra do produto, propriedades de logaritmos e regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos:
\ln\sqrt[3]{t} = \ln\bigl(t^{1/3}\bigr) = \tfrac{1}{3}\ln t.
Logo, podemos reescrever
f(t) = t^{2}\cdot \tfrac{1}{3}\ln t = \tfrac{1}{3}\,t^{2}\ln t.

Passo 3

Para derivar f(t)=\tfrac{1}{3}\,t^{2}\ln t, aplicamos a regra do produto ao termo t^{2}\ln t e, em seguida, multiplicamos pelo fator constante \tfrac{1}{3}. Seja
u(t)=t^{2},\quad v(t)=\ln t.
Temos
u'(t)=2t,\quad v'(t)=\frac{1}{t}.

Passo 4

A derivada de t^{2}\ln t é
u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =2t\ln t + t^{2}\cdot\frac{1}{t} =2t\ln t + t.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3}, obtemos
f'(t) = \tfrac{1}{3}\bigl(2t\ln t + t\bigr) = \frac{t\bigl(2\ln t + 1\bigr)}{3}.

Resposta

f'(t) = \frac{t\bigl(2\ln t + 1\bigr)}{3}.

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