Determine m de modo que a equação do 2^circ grau (m-1) x^2+(2 m+3) x+m=0 admita raízes negativas.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m tais que a equação do segundo grau
(m-1)x^2 + (2m+3)x + m = 0
admita duas raízes reais e ambas negativas.
Conteúdo: condições em uma eq.~ ax^2+bx+c=0 para que as raízes sejam reais e negativas.
Vamos usar:
  1. De<a=b^2-4ac>=0 para raízes reais.
  2. Soma das raízes S = -tfracba<0 e produto P=tfracca>0 para ambas negativas.
  3. mneq1 para ser de segundo grau.

Passo 2

Calcular o discriminante De<a. Aqui a=m-1, b=2m+3, c=m.
De<a = (2m+3)^2 - 4,(m-1),m =4m^2+12m+9 -4m^2+4m =16m+9
Para ter raízes reais exigimos
16m + 9 >= 0 Longrightarrow m >= -tfrac916

Passo 3

Expressar soma e produto das raízes:
S = r1+r2 = -ba = -2m+3,m-1,, P = r1r2 = ca = m,m-1,
Para r1,r2<0 precisamos
S<0 Long<=ftrightarrow -2m+3m-1<0 Long<=ftrightarrow 2m+3m-1>0,
P>0 Long<=ftrightarrow mm-1>0

Passo 4

Resolver separadamente as duas desigualdades racionais (lembrando mneq1):
  1. 2m+3m-1>0. Zeros em m=-tfrac32, polo em m=1. Sinal positivo em
    m<-tfrac32 ou m>1
  2. mm-1>0. Zero em m=0, polo em m=1. Sinal positivo em
    m<0 ou m>1
A interseção dá
(m<-tfrac32;lor;m>1);cap;(m<0;lor;m>1) ;;=;; m<-tfrac32;lor;m>1
Agora intersectar com De<a>=0 (isto é m>=-tfrac916) elimina m<-tfrac32 pois -tfrac32<-tfrac916. Logo sobra
m>1

Resposta

m>1.

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