Determine, em R, o conjunto solução das inequações:
x^2+2 x-1x^2-1 >= 1x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
x^2+2x-1x^2-1 ;>=; 1x+1
O conteúdo é inequação de funções racionais; vamos precisar identificar o domínio (pontos que anulam denominadores), reunir tudo num único lado e fazer análise de sinal.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão:
— Para x^2+2x-1x^2-1, precisamos x^2-1neq0, ou seja xneqpm1.
— Para 1x+1, precisamos x+1neq0, ou seja xneq-1.
Logo o domínio é Rsetminus,-1,1.

Passo 3

Subtrair 1x+1 de ambos os lados e colocar num único quociente:
x^2+2x-1x^2-1 - 1x+1 ;>=; 0

Passo 4

Colocamos sobre o mesmo denominador (x^2-1)(x+1)=(x-1)(x+1)^2. O numerador fica
(x^2+2x-1)(x+1) ;-;(x^2-1) ;=; x^3+3x^2+x-1 ;-;(x^2-1) ;=; x^3+2x^2+x ;=; x,(x+1)^2
Portanto a desigualdade vira
x,(x+1)^2(x-1)(x+1)^2;>=;0

Passo 5

Como (x+1)^2>0 para todo xneq-1, podemos cancelar esse fator (mantendo xneq-1) e obtemos a inequação equivalente
x,x-1,;>=;0, xneq-1,;xneq1

Passo 6

Para resolver xx-1>=0, fazemos análise de sinal. Os zeros e polos são:
zero de numerador: x=0,zero de denominador: x=1
Estudando o sinal em cada intervalo:
— Para x<0: numerador< 0, denominador< 0Rightarrow quociente> 0.
— Em 0<x<1: numerador> 0, denominador< 0Rightarrow quociente< 0.
— Para x>1: numerador> 0, denominador> 0Rightarrow quociente> 0.
No ponto x=0 o valor da fração é 0, e 0>=0 satisfaz. Nos pontos x=1 e x=-1 a expressão não está definida.

Passo 7

Juntando com o domínio, a solução da inequação é
xin(-infty,-1);cup;(-1,0];cup;(1,infty)

Resposta

(-infty,-1);cup;(-1,0];cup;(1,infty)

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