Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
x^2+8 x+-y^2+3 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral da cônica
x^2+8x - y^2+3y = 0
e pede para identificar sua natureza. Vamos usar o discriminante das cônicas e, em seguida, completar quadrados para ver a forma reduzida.

Passo 2

Na equação geral Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0, o discriminante é
De<a = B^2 - 4AC
Aqui temos A=1, B=0 e C=-1, logo
De<a = 0^2 - 4cdot1cdot(-1) = 4 > 0
Quando De<a>0, a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Para encontrar a forma reduzida, completamos quadrados em x e em y:
Para x:
x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16
Para y:
-,y^2 + 3y = -l(y^2-3yr) = -l[(y - tfrac32)^2 - tfrac94r] = -,(y - tfrac32)^2 + tfrac94

Passo 4

Substituindo na equação original:
(x+4)^2 - 16 ;-;(y - tfrac32)^2 + tfrac94 ;=;0
Agrupando os termos constantes:
(x+4)^2 - (y - tfrac32)^2 ;-;16 + tfrac94 = 0 Longrightarrow (x+4)^2 - (y - tfrac32)^2 = 16 - tfrac94 = tfrac554
Essa é a forma padrão de uma hipérbole de centro l(-4,tfrac32r) com eixo transverso horizontal.

Resposta

A curva é uma hipérbole.

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