Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação geral da cônica
e pede para identificar sua natureza. Vamos usar o discriminante das cônicas e, em seguida, completar quadrados para ver a forma reduzida.
Passo 2
Na equação geral
, o discriminante é
Aqui temos
,
e
, logo
Quando
, a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
Para encontrar a forma reduzida, completamos quadrados em
e em
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos constantes:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole de centro
com eixo transverso horizontal.
Resposta
A curva é uma hipérbole.