Determine um número de 4 dígitos, que dividido por 131, deixa um resto igual a 112, e quando dividido por 132 deixa um resto de 98.

Passo 1

O enunciado pede um inteiro de 4 dígitos N tal que
Nequiv112pmod131 e Nequiv98pmod132.
Vamos usar o Teorema Chinês dos Restos (CRT), pois 131 e 132 são coprimos.

Passo 2

Escrevendo N=131a+112 e impondo a segunda condição, temos
131a + 112 equiv 98 pmod132
que leva a
131a equiv 98 - 112 equiv -14 equiv 118 pmod132

Passo 3

Como 131equiv -1pmod132, a congruência
131a equiv 118 pmod132
é equivalente a
-a equiv 118 pmod132 Longrightarrow a equiv 14 pmod132

Passo 4

Tomando o menor representante a=14, substituímos em N=131a+112:
N = 131cdot14 + 112 = 1946
Verificamos que 1946div131 deixa resto 112 e 1946div132 deixa resto 98.

Passo 5

Pela CRT, a solução geral é
N = 1946 + 131cdot132,k = 1946 + 17292,k, kinZ
Para N ter 4 dígitos ( 1000<= N<=9999), só cabe k=0, logo N=1946.

Resposta

1946

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