Demonstrar que a^2+2 nunca é divisível por 4, qualquer que seja o inteiro a.

Passo 1

O problema pede para mostrar que, para todo inteiro a, a quantidade a^2+2 jamais é múltiplo de 4. Vamos usar aritmética modular, observando como o quadrado de um inteiro se comporta em módulo 4.

Passo 2

Mostramos que, para qualquer inteiro a,
a^2bmod4in0,1
De fato, se a é par, escreva a=2k. Então
a^2=(2k)^2=4k^2equiv0pmod4
Se a é ímpar, escreva a=2k+1. Então
a^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1equiv1pmod4

Passo 3

Em ambos os casos temos
a^2equiv0 ou 1pmod4,
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a^2+2equiv2 ou 3pmod4
Como nem 2 nem 3 são congruentes a 0 em módulo 4, concluímos que a^2+2 nunca é divisível por 4.

Resposta

Para todo inteiro a, 4 não divide a^2+2.

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