Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo com 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Para encontrar o número de vértices V, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexo e a contagem dupla de arestas pelas faces.

Passo 2

Primeiro, contamos o total de faces:
F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7
Agora somamos o número de lados de todas as faces (cada face de n lados contribui com n a essa soma):
soma dos lados = 3cdot 3 + 1cdot 4 + 1cdot 5 + 2cdot 6 = 9 + 4 + 5 + 12 = 30

Passo 3

Como cada aresta é contada em duas faces, o número total de arestas E é metade dessa soma:
E = 302 = 15

Passo 4

Aplicando a fórmula de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2,
substituímos E = 15 e F = 7:
V - 15 + 7 = 2 Longrightarrow V = 2 + 15 - 7 = 10

Resposta

O poliedro tem 10 vértices.

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