Determine quais números de Fibonacci são divisíveis por 5, quais são divisíveis por 7 e quais são divisíveis por 11. Demonstre que sua conjectura está correta.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir todos os índices n tais que o n-ésimo número de Fibonacci F_{n} seja divisível por 5, por 7 e por 11. O conteúdo que vamos usar envolve a definição da sequência de Fibonacci, a ideia de “menor índice” (também chamado de rank de aparição do módulo) e a propriedade de máximo divisor comum aplicada a termos de Fibonacci:
\gcd(F_{m},F_{n}) = F_{\gcd(m,n)}.

Passo 2

Primeiro encontramos, para cada módulo m\in\{5,7,11\}, o menor índice r tal que m\mid F_{r}. Verificamos na sequência:
  • Para m=5:
    F_{1}=1,\;F_{2}=1,\;F_{3}=2,\;F_{4}=3 não são múltiplos de 5, mas
    F_{5}=5 é divisível por 5. Logo o menor índice é r_{5}=5.
  • Para m=7:
    F_{1}=1,\;F_{2}=1,\;F_{3}=2,\;F_{4}=3,\;F_{5}=5,\;F_{6}=8,\;F_{7}=13\equiv6\pmod7, mas
    F_{8}=21\equiv0\pmod7. Logo r_{7}=8.
  • Para m=11:
    calculando até F_{10} vemos que F_{10}=55\equiv0\pmod{11} e nenhum termo anterior era múltiplo de 11. Logo r_{11}=10.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de gcd de Fibonacci:
\gcd(F_{r},F_{n}) = F_{\gcd(r,n)}.
Como F_{r}\equiv0\pmod m por definição de r, temos
m \mid \gcd(F_{r},F_{n}) \;=\; F_{\gcd(r,n)}.
Seja d=\gcd(r,n). Então m\mid F_{d}. Mas r foi escolhido como o \emph{menor} índice em que m divide um Fibonacci, logo só é possível que d=r. Assim r\mid n. Isso mostra que
m\mid F_{n} \quad\Longleftrightarrow\quad r\;\bigl|\;n.

Passo 4

Aplicando esse resultado a cada caso:
  • Para m=5 temos r_{5}=5, logo 5\mid F_{n} se e somente se 5\mid n.
  • Para m=7 temos r_{7}=8, logo 7\mid F_{n} se e somente se 8\mid n.
  • Para m=11 temos r_{11}=10, logo 11\mid F_{n} se e somente se 10\mid n.

Resposta

Os números de Fibonacci divisíveis por 5 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 5.
Os números de Fibonacci divisíveis por 7 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 8.
Os números de Fibonacci divisíveis por 11 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 10.

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