Determine quais números de Fibonacci são divisíveis por 5, quais são divisíveis por 7 e quais são divisíveis por 11. Demonstre que sua conjectura está correta.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir todos os índices
tais que o
-ésimo número de Fibonacci
seja divisível por
, por
e por
. O conteúdo que vamos usar envolve a definição da sequência de Fibonacci, a ideia de “menor índice” (também chamado de rank de aparição do módulo) e a propriedade de máximo divisor comum aplicada a termos de Fibonacci:
Passo 2
Primeiro encontramos, para cada módulo
, o menor índice
tal que
. Verificamos na sequência:
-
Para
:
não são múltiplos de , mas
é divisível por . Logo o menor índice é . -
Para
:
, mas
. Logo . -
Para
:
calculando atévemos que e nenhum termo anterior era múltiplo de . Logo .
Passo 3
Agora usamos a propriedade de gcd de Fibonacci:
Como
por definição de
, temos
Seja
. Então
. Mas
foi escolhido como o \emph{menor} índice em que
divide um Fibonacci, logo só é possível que
. Assim
. Isso mostra que
Passo 4
Aplicando esse resultado a cada caso:
- Para
temos , logo se e somente se . - Para
temos , logo se e somente se . - Para
temos , logo se e somente se .
Resposta
Os números de Fibonacci divisíveis por 5 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 5.
Os números de Fibonacci divisíveis por 7 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 8.
Os números de Fibonacci divisíveis por 11 são exatamente aqueles cujos índices são múltiplos de 10.