Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico), e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso:
Determine o ponto de equilíbrio.
R(x)=12 x e C(x)=20+14 x

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções lineares em função da quantidade x: a receita
R(x)=tfrac12,x
e o custo
C(x)=20+tfrac14,x
Queremos encontrar o ponto de equilíbrio (ou ponto de nivelamento), ou seja, o valor de x tal que
R(x)=C(x),
e em seguida esboçar os gráficos de R e C.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para achar o ponto de equilíbrio:
tfrac12,x = 20 + tfrac14,x
Subtraindo tfrac14,x de ambos os lados, obtemos
tfrac12,x - tfrac14,x = 20 Longrightarrow tfrac14,x = 20 Longrightarrow x = 80
Para esse x, a receita (e o custo) vale
R(80)=tfrac12cdot80 = 40

Passo 3

Analisando os regimes de operação:
  • Se x<80, então C(x)=20+tfrac14,x > tfrac14,x + 0 =R(x), ou seja, o custo supera a receita (prejuízo).
  • Se x>80, então R(x)=tfrac12,x > tfrac14,x + 20 =C(x), logo a receita supera o custo (lucro).

Passo 4

Esboço dos gráficos em um plano (x,y):
  • Receita R(x)=tfrac12x: reta de coeficiente angular tfrac12 passando por (0,0). Dois pontos-chaves:
    (0,0) e (80,40).
  • Custo C(x)=20+tfrac14x: reta de coeficiente angular tfrac14 e intercepto 20. Dois pontos-chaves:
    (0,20) e (80,40).
    As duas retas se cruzam em (80,40), que é o ponto de equilíbrio. À esquerda desse ponto o custo está acima da receita; à direita, a receita está acima do custo.

Resposta

O ponto de equilíbrio ocorre em x=80 unidades, com R(80)=C(80)=40.

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