Determine o ponto B da reta s de tal forma que o segmento A B intercepte a reta r no ponto C que o divide na razão 12. São dados: A(-1,6), r: 3 x-y=0 e s: x-2 y+4=0.

Passo 1

Resumindo: temos A(-1,6), reta rcolon 3x - y = 0 e reta scolon x - 2y + 4 = 0. Queremos o ponto B em s de modo que o segmento AB intercepte r no ponto C que divide internamente AB na razão tfrac12, ou seja, tfracACCB=tfrac12. Vamos usar a fórmula de divisão interna em coordenadas para encontrar B.

Passo 2

Seja B=(x,y) um ponto genérico de s. Pelo critério de divisão interna com tfracACCB=tfrac12, o ponto C vem dado por
C ;=;2A + B3 ;=;l(2cdot(-1)+x3,,2cdot6 + y3r) ;=;l(x-23,,12+y3r)

Passo 3

Como C está em r, sua coordenada satisfaz
3xC - yC = 0
Substituindo xC=tfracx-23 e yC=tfrac12+y3, obtemos
3l(tfracx-23r);-;l(tfrac12+y3r)=0 ;Longrightarrow; 3(x-2)-(12+y)=0 ;Longrightarrow; 3x - y - 18 = 0 ;Longrightarrow; y = 3x - 18

Passo 4

Além disso, como B está em s, temos
x - 2y + 4 = 0
Substituindo y=3x-18 nessa equação:
x - 2(3x-18) + 4 = 0 ;Longrightarrow; x - 6x + 36 + 4 = 0 ;Longrightarrow; -5x + 40 = 0 ;Longrightarrow; x = 8,
e daí
y = 3cdot8 - 18 = 6

Resposta

B = (8,6)

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