Determine os pontos críticos das funções dadas nos Exercícios 1 a 14.
y=2 x^{3}-3 x^{2}+5.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
y = 2x^{3} - 3x^{2} + 5.
Um ponto crítico é todo x em que a derivada y' é zero ou não está definida. Como se trata de um polinômio, y' existe para todo x, então basta achar onde y'=0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y. Usando regras de potência:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}(5)
y' = 6x^{2} - 6x + 0
Logo,
y' = 6x^{2} - 6x.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
6x^{2} - 6x = 0.
Fatorando,
6x(x - 1) = 0
dá as soluções
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 1.

Passo 4

Agora obtemos os correspondentes valores de y:
Para x=0:
y(0)=2\cdot0^{3}-3\cdot0^{2}+5=5.
Para x=1:
y(1)=2\cdot1^{3}-3\cdot1^{2}+5=2-3+5=4.

Resposta

Os pontos críticos são (0,5) e (1,4).

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