Determine os primeiros quatro \alpha_{i} \geq 0 definidos por J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0.

Passo 1

O enunciado pede as soluções não negativas de
J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0.
Usamos a identidade de Bessel
J_{0}^{\prime}(z)=-\,J_{1}(z),
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J_{0}^{\prime}(2\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad J_{1}(2\alpha)=0.

Passo 2

As raízes de J_{1}(z)=0 são dadas por
z = j_{1,k},\quad k=0,1,2,\dots
onde j_{1,0}=0 (raiz trivial) e j_{1,1},j_{1,2},\dots são as primeiras raízes positivas. Como 2\alpha=j_{1,k}, temos
\alpha_{k} = \frac{j_{1,k}}{2}.

Passo 3

Os primeiros quatro zeros de J_{1} são
j_{1,0}=0,\quad j_{1,1}\approx3{,}831705970,\quad j_{1,2}\approx7{,}015586669,\quad j_{1,3}\approx10{,}17346814.

Passo 4

Dividindo cada j_{1,k} por 2 obtemos as quatro soluções não negativas:
\alpha_{0}=\frac{j_{1,0}}{2}=0, \quad \alpha_{1}=\frac{j_{1,1}}{2}\approx1{,}9158530, \quad \alpha_{2}=\frac{j_{1,2}}{2}\approx3{,}5077933, \quad \alpha_{3}=\frac{j_{1,3}}{2}\approx5{,}0867341.

Resposta

\alpha_{0}=0,\quad\alpha_{1}\approx1{,}91585,\quad\alpha_{2}\approx3{,}50779,\quad\alpha_{3}\approx5{,}08673.

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