Determine o quociente e o resto das divisões:
3 x^4-5 x^2+6 x+1 div x^2-3 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=3x^4-5x^2+6x+1
pelo polinômio
D(x)=x^2-3x+4
e encontrar o quociente Q(x) e o resto R(x). O método é a divisão de polinômios (algoritmo da divisão).

Passo 2

Escrevemos os polinômios em forma padrão, incluindo o termo x^3 nulo em P(x):
P(x)=3x^4+0x^3-5x^2+6x+1
D(x)=x^2-3x+4
Comparando o termo de maior grau de P ( 3x^4) com o de D ( x^2), dividimos
3x^4 / x^2 = 3x^2,
logo o primeiro termo do quociente é 3x^2.

Passo 3

Multiplicamos D(x) por 3x^2 e subtraímos de P(x):
3x^2cdot D(x)=3x^4-9x^3+12x^2
P(x)-l(3x^4-9x^3+12x^2r)=9x^3-17x^2+6x+1
Chamando esse polinômio de P1(x), temos
P1(x)=9x^3-17x^2+6x+1

Passo 4

Agora dividimos o termo de maior grau de P1 ( 9x^3) por x^2:
9x^3 / x^2 = 9x,
então o próximo termo do quociente é 9x. Multiplicamos e subtraímos:
9xcdot D(x)=9x^3-27x^2+36x
P1(x)-l(9x^3-27x^2+36xr)=10x^2-30x+1
Chamando esse polinômio de P2(x), fica
P2(x)=10x^2-30x+1

Passo 5

Dividimos o termo de maior grau de P2 ( 10x^2) por x^2:
10x^2 / x^2 = 10,
portanto o último termo do quociente é 10. Multiplicando e subtraindo:
10cdot D(x)=10x^2-30x+40
P2(x)-l(10x^2-30x+40r)=-39
Como o resto -39 tem grau menor que D(x), a divisão termina aqui.

Passo 6

Reunindo os termos encontrados no quociente e o resto:
Q(x)=3x^2+9x+10, R(x)=-39

Resposta

Quociente: 3x^2+9x+10
Resto: -39

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