Determine o quociente e o resto das divisões:
3 x^4-5 x^2+6 x+1 div x^2-3 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=3x^4-5x^2+6x+1
pelo polinômio
D(x)=x^2-3x+4
e encontrar o quociente e o resto . O método é a divisão de polinômios (algoritmo da divisão).

Passo 2

Escrevemos os polinômios em forma padrão, incluindo o termo P(x)=3x^4+0x^3-5x^2+6x+1 nulo em D(x)=x^2-3x+4 :
3x^4 / x^2 = 3x^2,
Comparando o termo de maior grau de ( ) com o de ( ), dividimos
logo o primeiro termo do quociente é .

Passo 3

Multiplicamos 3x^2cdot D(x)=3x^4-9x^3+12x^2 por P(x)-l(3x^4-9x^3+12x^2r)=9x^3-17x^2+6x+1 e subtraímos de P1(x)=9x^3-17x^2+6x+1 :
Chamando esse polinômio de , temos

Passo 4

Agora dividimos o termo de maior grau de 9x^3 / x^2 = 9x, ( 9xcdot D(x)=9x^3-27x^2+36x ) por P1(x)-l(9x^3-27x^2+36xr)=10x^2-30x+1 :
P2(x)=10x^2-30x+1
então o próximo termo do quociente é . Multiplicamos e subtraímos:
Chamando esse polinômio de , fica

Passo 5

Dividimos o termo de maior grau de 10x^2 / x^2 = 10, ( 10cdot D(x)=10x^2-30x+40 ) por P2(x)-l(10x^2-30x+40r)=-39 :
portanto o último termo do quociente é . Multiplicando e subtraindo:
Como o resto tem grau menor que , a divisão termina aqui.

Passo 6

Reunindo os termos encontrados no quociente e o resto:
Q(x)=3x^2+9x+10, R(x)=-39

Resposta

Quociente:
Resto:

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