Determine as raízes racionais dos polinômios:
P(x)=2 x^5-3 x^4-14 x^3+38 x^2-8 x-15

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=2x^5-3x^4-14x^3+38x^2-8x-15
e pede as raízes racionais. O conteúdo aqui é o Teorema das Raízes Racionais e o uso de divisão sintética para decompor o polinômio toda vez que encontramos uma raiz.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são os quocientes de pm15 (termo independente) por pm1,2 (coeficiente líder), ou seja
pm1,pm3,pm5,pm15,pm12,pm32,pm52,pm152
Testando x=1:
P(1)=2-3-14+38-8-15=0,
logo x=1 é raiz. Dividindo P(x) por x-1 (divisão sintética) obtemos
2x^4-x^3-15x^2+23x+15

Passo 3

No polinômio
2x^4-x^3-15x^2+23x+15
testamos x=-3:
2(-3)^4-(-3)^3-15(-3)^2+23(-3)+15 =162+27-135-69+15=0,
logo x=-3 é raiz. Dividindo por x+3 obtemos o cúbico
2x^3-7x^2+6x+5

Passo 4

No polinômio
2x^3-7x^2+6x+5
testamos x=-tfrac12:
2l(-tfrac12r)^3-7l(-tfrac12r)^2+6l(-tfrac12r)+5 =-tfrac14-tfrac74-3+5=0,
logo x=-tfrac12 é raiz. Dividindo por x+tfrac12 obtemos o quadrático
2x^2-8x+10

Passo 5

O polinômio remanescente é
2x^2-8x+10
Seu discriminante é
De<a =(-8)^2-4cdot2cdot10=64-80=-16<0
Como De<a<0, não há raízes racionais adicionais neste quadrático.

Resposta

As raízes racionais de P(x) são
x=1, x=-3, x=-12

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